(між елементами множини)

АБСТРАКЦІЯ АКТУАЛЬНОЇ НЕСКІНЧЕННОСТІ - ключова абстракція наукового пізнання, яка є значно сильнішою ідеалізацією, ніж абстракція потенційної нескінченності. Класична математика і класична логіка користуються нею понад два з половиною тисячоліття як методом, що виходить з можливості абстрагування від нескінченності множин та від незавершеності самого процесу побудови нескінченних множин. Результатом цього абстрагування є поняття завершеної або актуальної нескінченності. Несуперечливе, коректне розуміння А.а.н. можливе лише за умови сумісності понять нескінченності й актуальності. Ці питання - сфера компетенції теорії множин. Нескінченною, згідно з цією теорією, є множина, еквівалентна своїй підмножині. Розуміння актуальної нескінченності дає уявлення про актуально нескінченну множину - множину, побудова якої ні в який спосіб не пов'язується з завершенням нескінченного процесу утворення її довільних елементів. У цьому сенсі актуальний характер нескінченної множини означатиме цілковите абстрагування від процесу утворення всіх її елементів, що дає можливість розглядати таку множину (скажімо, нескінченні числові множини натуральних, цілих чи дійсних чисел) як об'єкт, заданий водночас всіма його елементами. Трансформуючи нескінченні множини на існуючі об'єкти (тобто об'єкти, визначення яких не призводить до логічних суперечностей), А.а.н. служить містком між скінченними й нескінченними множинами. Цим самим відкриваються можливості дослідження нескінченних множин логічними засобами, відпрацьованими й апробованими на скінченних множинах.

Больцано, Бернард (1781, Прага - 1848) - чеськ. філософ, математик, теолог. Його філософія є оригінальним синтезом платонівського вчення про "істини в собі" та атомістичного вчення про діалектику простих субстанцій, які безупинно взаємодіють і змінюють одна одну. Творчо розвиваючи ідеї Ляйбніца, Б. обстоював об'єктивність актуально нескінченного, розрізняючи при цьому два типи існування об'єктивного. Перший тип - це реальне існування, тобто існування "безпосередньо даного"; другий тип - це нереальне, але можливе існування, існування "у собі", наявне буття. Існування нескінченних множин Б. розумів як їхнє "буттювання" серед речей не реальних, а тільки таких, що мнсляться. Концепція науковчення Б. включає аналітичний огляд традиційних логічних вчень, критику психологізму в логіці, оригінальну концепцію дедуктивної логіки. Запропонувавши своє розуміння критерію логічної точності міркувань, Б. поширив цей критерій на всю ділянку досліджень основ математичного аналізу. Б. вперше в історії математики проаналізував свої знамениті приклади взаємооднозначної відповідності між елементами нескінченної множини й елементами її власної підмножини. Б. - попередник Кантора, творця теорії нескінченних множин. В етико-соціальних дослідженнях Б. розвивав ідеї рівності та суспільного прогресу, утверджував принцип загального блага як найвищого морального принципу.

[br]

Осн. тв.: "Книжечка про найкращу державу" (1831); "Науковчення" (1837); "Парадокси нескінченного" (1851).